用微积分推导滚珠丝杆的转动惯量计算公式的详细过程

式中：J - 转动惯量； - 刚体的某个质点的质量； - 该质点到转轴的垂直距离。

1、转动惯量公式推导

如图所示，滚珠丝杆的半径为R，长度为L，质量为m，材料密度为  。

圆柱体的底圆面积： 

圆柱体的体积：

圆柱体的质量： 

在圆环上截取一段长为dl的质元，其对应的圆心角为d，记质元的质量为dm，

质元和圆心的连线与x轴的夹角为 ，

则 ，

因为  趋于无限小，质元可以被看成是长宽高分别为 的微立方体。

 

【说明】本文利用符合“·”，一是作为间隔符合，便于区分微分符合，二是也有相乘的含义

   

   

小结：整个计算思路是先根据转动惯量的基本定义  求得质元的转动惯量，再依次计算得到圆环、圆盘及整个圆柱体的转动惯量。

2、公式的应用及演变

转动惯量的国际单位为 。以上两个公式的完整表达：

     —（1）

J – 刚性体转动惯量 [kg·]；ρ – 材料的密度 [kg/]；R – 刚性体的半径 [m]，L – 圆柱体的长度 [m]

      —（2）

J – 刚性体转动惯量 [kg]；m – 刚性体的质量 [kg]；R – 刚性体的半径 [m]。

滚珠丝杆一般材质都是钢材，钢材的密度： [g/]，如果丝杆的外径D和长度L都以cm为单位，

   [kg·]

得到：      —（3）

J – 丝杆的转动惯量 [kg·]；D –丝杆的直径 [cm] ；L –丝杆的长度 [cm]

如果转动惯量的单位采用：[kgf·m·]， 与国际制单位存在什么关系呢？

我们知道 

得到   

       [kgf·m·]

     —（5）

J – 丝杆的转动惯量 [kgf·m·]；D – 丝杆的直径 [cm] ；L – 丝杆的长度 [cm]